数学中的桥梁

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Kendra Lomax,《认知指导:将大想法转化为实践》

Mike Wallus,教育支持副总裁

总结:第一季,第七集

在今天的播客中,我们要讨论的是肯德拉·洛马克斯医生来自华盛顿大学的一项名为认知引导教学它为小学教育者和学生带来了希望。

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认知引导教学

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迈克Wallus:在你的教学生涯中,有没有什么经历从根本上改变了你对学生的看法以及你作为一名教育者的角色?对我来说,这种转变发生在2007年7月一个闷热的星期里,当时我参加了一门关于认知引导教学的课程。认知引导教学(CGI)是过去20年来对小学数学产生了巨大影响的一项研究。在今天的播客中,我们将与华盛顿大学的肯德拉·洛马克斯博士讨论CGI以及它为小学教育者和学生带来的希望。好了,肯德拉,欢迎来到播客。你能来真是太好了。

坎德拉凯文嗯,谢谢你邀请我。

迈克:绝对的。我想知道我们今天能不能先讲一点背景知识;一部分是历史课,一部分是入门课程,帮助听众理解CGI是什么。那么,你能简要地总结一下CGI是什么,以及它试图阐明的问题吗?

坎德拉当然,我会尽力的。CGI是认知引导指令的缩写,这是一个研究的主体,开始于大约30年前,由汤姆·卡朋特和伊丽莎白·芬内玛。从那时起,有很多其他学者在这个研究的基础上进行了研究。他们真的试图去思考和理解孩子们是如何随着时间的推移发展出数学观念的。因此,他们采访、研究并非常仔细地观察小孩子在解决整数问题时的行为。你们可能听说过这本书孩子们的数学在那里你可以读到很多关于认知引导教学的内容,它总结了一些研究。他们从整数计算开始,然后扩展到分数和小数等领域,了解孩子们是如何发展代数思维的,以及关于计数和数量的早期想法。

迈克: Uh-hm。

坎德拉有几本书是CGI家族的。幼儿数学包括这些原作者,还有尼克·约翰逊、梅根·弗兰克、安吉拉·图鲁和安妮塔·韦格。分数和小数的研究是由Susan Empson和Linda Levi领导的。然后,就像我提到的,思考数学原作者的文章是关于代数的。所以,在所有这些总结这项研究的文本中,基本上,我们试图理解孩子们是如何随着时间的推移产生想法的?汤姆和莉兹真的为我们所有人树立了榜样,他们是如何考虑分享这项研究的。他们非常尊重教师的智慧和他们对孩子们所做的工作。所以,你不会在CGI的研究中找到任何关于如何确切地教学或课程设置的处方。hth华体会因为他们的方法是与老师们分享他们所做的研究,当他们采访并倾听所有这些孩子解决问题时,然后向老师们学习。我们现在所知道的儿童是如何发展数学思维的,有什么意义呢?

迈克我的意思是,在某些方面,这是一种根本性的转变,对吗?它重新定义了如何思考教学,至少与传统范式相比是这样的,对吧?

坎德拉:是的,这不是一项关于如何最好地教育孩子的研究,而是一项关于孩子们如何把他们已有的想法带到数学课堂上的研究和好奇心,以及他们如何随着时间的推移在这些想法的基础上发展。

迈克:当然。这很有趣,因为当我想到我的第一次接触,我觉得这是一个很大的顿悟,我的工作是倾听,而不是强加或告诉或完美地描述如何做某事。当你重新思考教育工作时,这是一个巨大的变化。

坎德拉:当然。而且感觉很快乐,对吧?你要成为学生的学生,了解他们自己的想法,并在当时对他们做出真正的回应,这当然给老师们带来了很多挑战。但我认为,还有一种与孩子们真诚的关系、好奇心和一点点快乐。

迈克:当然。所以,我想知道我们是否可以深入一点整数的工作,因为我认为我们已经讨论过一些关于CGI的事情,这是你接近学生的方式,对吧?你倾听学生们的想法的方式是。但这项研究确实揭示了一些方法,可以为孩子们思考时看到的一些事情构建一个框架。

坎德拉:所以,如果你读这本书孩子们的数学,你可能会注意到或认出其中的一些想法,因为CGI是共同核心州数学标准的研究基础之一。所以,当你查看你的年级水平标准时,你会发现他们建议孩子们可能使用的特定问题类型,数量大小或策略,这些大部分都是基于认知引导教学的工作,以及其他研究机构的工作。所以,当你自己通读这本书的时候,这听起来可能很熟悉。而CGI帮助揭示的是,有一个可预测的顺序:年幼的孩子发展出处理整数计算问题的整数运算策略。

迈克:是啊。肯德拉,你能谈谈吗?

坎德拉:是啊。所以,小孩子会从我们所说的直接建模开始,他们会直接模拟问题的背景。所以,如果我们给他们一个故事问题,他们会表演或者做模型或者做手势,来展示问题的作用。所以,如果它描述吃东西(发出吃的声音),你可以想象,对吧,伴随着吃的动作?我们都很熟悉它。所以,他们可能会展示饼干,然后划掉那些被吃掉的…

迈克: Uh-hm。

坎德拉:……对吧?因此,它们将直接模拟问题中描述的行为或关系。它们也代表了问题中所有的量,这是不同的。随着时间的推移,他们学到的是依靠或向后数。因此,他们学到的一些计数策略是,“天哪,我不想计算这个问题中的所有量。”它变得太困难,太麻烦。他们学会了从一个量开始数数或者往回数。所以,在饼干的例子中,也许盘子里有七块饼干,我有两块作为甜点,对吧?(发出吃东西的声音)他们走了。在直接建模中,他们会展示七个饼干。 They're going to remove those two cookies that get eaten, and then count how many are left. Where in counting on—so they have had lots of experiences of direct modeling—they can say, “Gosh, I don't really want to draw that seven. I'm going to imagine the seven…”

迈克: Uh-hm。

坎德拉“……我也许可以从那里开始倒数。”

迈克比如,7、6、5。

坎德拉:是啊。正确的。所以我不需要做7。我可以想象。我把这两个数下来。

迈克:完全有道理。作为一名前幼儿园和一年级教师,看到这种转变真的是一件令人惊讶的事情。

坎德拉:对吧?这是教师们培养的专门知识来关注这种转变。其他人很容易忽略这一点。但对于老师来说,这是一个非常重要的转变。

迈克:我曾经对父母们说,当我试图描述这一点时,这是我们几乎没有意识到能够做到的事情。但是从把一个量想象成1的集合到把一个量想象成一个你可以往后数或者往前数的数,这是一个巨大的进步。这是一个巨大的飞跃。即使对我们来说,我们已经忘记了这是一个多么大的飞跃,因为我们已经很久没有这样做了。

坎德拉:是啊。这是我喜欢研究儿童数学的一个原因,就像,你可以再次体验那种奇迹……

迈克: Uh-hm。

坎德拉:……在我们作为成年人看待世界的方式中,我们认为是理所当然的。

迈克:是啊。我认为你非常清楚地表达了孩子们从直接建模,动作和数量,到他们思维的转变以及他们能够依靠或计数的效率的转变。孩子们从那里开始的发展轨迹,还有更多的吗?

坎德拉:,是的。所以,在孩子们有了很多指导模型的经验之后,他们学会了更有效地利用这些经验,然后他们可能会开始发明。我们称之为发明算法,这是一种华丽的说法,说他们思考数量之间的关系,开始把它们放在一起,然后以更有效的方式把它们分开。所以,他们可能会用他们对10人一组的理解,对吧?所以,在这个例子中,关于饼干——七块饼干,吃了两块——我可能知道一些与五块饼干的关系……

迈克: Uh-hm。

坎德拉五加二等于七。因此,他们开始了解数字是如何组合的,以及运算的实际表现。另外,我可以按照我想要的任何顺序添加它们,对吧?所以,我们在共同核心标准中看到这些叫做,基于位值的策略,运算的属性,以及加减乘除之间的关系。

迈克把共同核心的语言和你可能看到的联系起来,以及它是如何转化成,你可能在一些CGI研究中读到的东西,这是非常有帮助的。

坎德拉:对。如果我们都有完全相同的名字(笑),那就太好了,不是吗?

迈克:当然。我怀疑那些刚开始讨论这个话题的人会问的一个问题是,我可以设置什么样的条件?或者作为一名老师,我能做些什么来帮助孩子们前进,做出一些改变。知道答案不是直接的指示。我可以让一个孩子模仿数数,但如果他们仍然以直接建模者的方式思考数字,他们并没有真正改变,对吧?所以,我想知道的是,你会如何描述一些老师可以帮助推动孩子的方式,或者在那里设置情境,帮助孩子们在不知情的情况下做出转变,或者……

坎德拉(笑)

迈克比如,放弃游戏?

坎德拉:完全。是的。这是我一直在寻找的一个结论,当人们听说CGI和这个轨迹是可以预测的。

迈克: Uh-hm。

坎德拉那我们就教他们下一个策略,好吗?

迈克:对。

坎德拉重要的是要记住,这些被称为发明算法是有原因的。迈克: Uh-hm。

坎德拉:因为孩子实际上是发明数学。这是惊人的。幼儿园是发明数学。因此,我们的职责就是为他们创造合适的机会,让他们从事这项重要的工作。就像你说的,当他们为下一个想法做好准备时,他们是在现有知识的基础上建立的,而不是我们进来,试图人为地创造。

迈克: Uh-hm。

坎德拉:所以,再一次,就像,莉兹和汤姆真的教我们成为学生的学生,以及老师的学生。

迈克: Uh-hm。

坎德拉随着时间的推移,我们学到的一些东西,老师们发现,在支持学生沿着这条轨迹前进,创造越来越有效的策略方面,真的是要仔细思考,选择我们摆在学生面前的问题。

迈克: Uh-hm。

坎德拉:所以,注意语境。他们熟悉吗?这在现实世界中合理吗?我们是在帮助孩子们看到数学就在他们身边。

迈克: Uh-hm。

坎德拉注意我们选择的数量。所以,如果我们想让他们开始思考5和10之间的关系,或者随着他们长大,思考数百和数千,我们有意选择这些问题的数量。

迈克:对。

坎德拉当然,我们知道学生们不仅从我们身上学到很多东西,还从他们与同学的关系以及他们与同学的讨论中学到了很多东西。因此,真正组织课堂讨论,考虑选择学生一起工作,这样他们就可以互相学习,并且真的只是找到方法来帮助学生将他们当前的想法与我们知道的新想法联系起来。

迈克:我会的让你们多讲一点关于数字选择的内容。这是一个非常强大的策略,但我认为它没有得到充分利用。所以,我想知道你是否能谈谈你在为孩子们提供数字选择时的策略。你能多说点吗?

坎德拉:当然可以!当然,这取决于年级水平,对吧?

迈克: Uh-hm。

坎德拉因为他们在小学的早期和以后都要面对不同的数量,我想说的是,在所有年级,只要有可能,就不要限制学生。所以,有时候我们想要给孩子们一些他们真的很舒服的问题,我们知道他们会成功。但如果我在思考他们如何制定更有效的策略,有时增长的到来会让事情变得有点棘手。给出的量是有一点超过了他们的年龄,所以他们发展了需要学习计数序列。或者,当我们和年龄较大的学生一起学习时,如果我们知道学生不太熟悉特定的乘法知识。通过创建故事背景来推动他们,在那里他们可以真正理解发生在其中的关系的行动,但也许选择这个乘以7我们知道对孩子来说很棘手,对吧?

迈克:是的。

坎德拉:所以,我只是想鼓励人们不要回避那些我们知道会给学生带来挑战的问题。这是很多肉和严酷发生的地方。但是我们也想在这些内部提供支持,对吧?所以,和伙伴一起工作。

迈克:当然。

坎德拉:或者确保他们能够使用那些计数图表。这是我想说的一件事。

迈克:是啊。你让我想起了别的事。肯德拉,这次谈话很有意思,因为它让我想起了我必须学会的所有东西。我想我想知道的一件事是你能否多谈谈问题的类型,以及你为一组特定的学生选择的问题会如何影响他们是直接建模还是他们依赖于或他们是否使用发明的算法。因为我认为,对我来说,花了一段时间才明白的一件事是,进程不一定是线性的,对吧?就像,如果我在某种情况下依赖,那并不意味着我在所有情况下都依赖或直接建模或诸如此类。我很好奇你能不能谈谈问题类型以及它们是如何影响学生展示给我们的东西的。

坎德拉:是啊。我很高兴你提起这个。当我们描述这种策略的轨迹时,听起来很好,很整齐,很有条理而且在某些方面是可以预测的。但就像你说的,这也取决于我们摆在孩子们面前的问题的种类和数量。所以这个轨迹在整个小学阶段不断重复。所以,当我们提出更复杂的问题类型时,例如,饼干问题,我有七块饼干,我吃了两块,结果就是故事的结局,对吧?剩下的饼干。

迈克: Uh-hm。

坎德拉如果我现在犯这个问题,我已经一些饼干放在盘子里。我吃了两个,还剩五个。所有的幼儿园老师,实际上是所有的小学老师……

迈克:(笑)是的。

坎德拉能自动识别出这将是一个更棘手的问题,对吧?迈克: Uh-hm。

坎德拉我该从哪里开始呢?特别是如果我是直接模特,对吧?我们知道他们开始并遵循故事的确切行动。

迈克:当然(笑)。

坎德拉所以,当我们提出更复杂的问题类型时,你是对的。你会发现他们可能会使用低效率的策略因为他们真的很有意义。他们会说:“等等,这个故事中发生的关系是什么?我该从哪里开始呢?故事开头、中间和结尾的饼干在哪里?”我们在整个小学都能看到这种情况。所以,并不是说直接做模特只适合幼儿园的孩子。那些发明的算法是五年级的。而是随着新思想的引入,当我们把问题变得更复杂时,可能会增加数字的大小,或者现在我们正在处理分数和小数……

迈克: Uh-hm。

坎德拉我们看到这种情况再次发生。孩子们开始直接模仿来理解情况。然后它们在此基础上通过一些计数策略变得更有效率。然后随着时间的推移,通过对新问题类型的大量练习,这些新数字,嗯,他们再次开发出那些发明的算法。

迈克所以,这让我想到了其他的事情,肯德拉。你如何描述代理在这个过程中的作用?这可能意味着学生选择使用的操纵手段。这可能意味着他们选择画的东西,视觉模型。在这个过程中表现是如何发挥作用的?

坎德拉:是啊。所以,我经常听到人们说,“这个学生用了立方体。这就是他们的策略。”或者“这个学生用了一幅画。这就是他们的策略。”这些信息还不足以让我们了解这个孩子所做的数学工作。他们用立方体来计数吗?

迈克: Uh-hm。

坎德拉:他们是否只记录其中一个数量,却使用立方体来记录?他们画的是一组10个人吗?他们在里面使用了位值的概念,这和他们只是按1来画是不一样的,对吧?在这些表示中有很多细节是需要注意的。

迈克:是啊。我想起了我以前上幼儿园的一个孩子。我记得我有她在秋天做的一些工作,然后我有她在春天做的另一部分工作。而秋天是这个(咯咯笑)非常详细的画,像,一百个圆。然后到了春天,她开始合并了,对吧?她画了一堆圆圈,然后在圆圈里标记出每个圆圈都是10。这让我震惊,“哇,这是她在这两种情况下绘画的真实形象。”但她的陈述讲述了一个完全不同的故事,关于她对数学,对数字,对10进制的理解。

坎德拉:对。这些可能是非常不同的起点。当你,作为老师,你走过去,你看到那两种不同的画……

迈克: Uh-hm。

坎德拉你的对话或你给他们的提示,你下一步对他们来说可能是完全不同的。

迈克:绝对的。

坎德拉即使他们都在画画。

迈克:是啊。好吧,让我问你这个问题,因为我觉得当我第一次开始真正思考CGI的时候,我有点纠结于这个问题。我参加了一次培训,离开时非常激动。当时我试图调和的一件事是,我确实有一个我正在使用的课程资源,我想知道有多少老师有时会为此而挣扎?hth华体会我已经学会了孩子如何思考,如何倾听……我能做些什么老师的动作呢?我也试着把它和我在学校或学区使用的工具结合起来。你对此有什么看法?

坎德拉这很有道理。我认为这种情况在专业学习中经常发生,我们学习一套新的想法,然后我们努力思考如何将它们与我已经在做的事情联系起来?我如何在自己的课堂上使用它们?所以,我真的很感激这个挑战。我想我想的一种方式是CGI帮助我们了解孩子们是如何随着时间的推移发展想法的轨迹有点像一个路线图,不管我面前有什么课程材料,我都可以使用它。它帮助我了解那个孩子的未来。他们和他们的学习的下一步是什么?根据他们使用的策略类型和我们希望他们在那个年级接触到的问题类型,我可以看看我面前的课程材料,并使用路线图来帮助我导航。我们讨论了数字选择。所以,当我看着我面前的课程时,我可能会用这个镜头思考,“这些数字是正确的吗?”hth华体会 What will my students do with the problem…

迈克: Uh-hm。

坎德拉我的课程资料里提到的?”来预测我的讨论将如何进行以及我可能会在讨论中强调什么样的策略。所以,我真的喜欢把它看作是教师需要的专业知识,以便理解他们的课程材料,并就如何有目的地使用这些材料做出明智的决定。hth华体会

迈克:是啊。另一件让我印象深刻的事情是,我把你之前说的联系起来了,我也可以看着这个问题,思考一下,“语境真的和我对孩子的了解有关吗?”我能否以某种方式改变上下文,让他们更容易理解,同时仍然保持结构、问题和数学等?”

坎德拉:对。是的。是否有我可以做的小修改?因为,呃,我一点也不羡慕课程编写者(咯咯地笑),因为hth华体会你不可能为全国的每个孩子每天写出完全正确的问题。所以,作为老师,我们必须做出非常明智的决定,并使这些决定易于管理。因为老师都是很忙的人。

迈克:当然。

坎德拉但是那些可管理的调整或修订,使它真正与我们学生的生活联系起来。

迈克:是啊。我认为另一件让我震惊的事情是,当你开始理解孩子们所经历的进步时,这有点像戴上一副眼镜,让你看到的东西略有不同,并理解观察的技能。这是普遍的。它不一定随课程而来。hth华体会这是很重要的事情。了解你的学生总是这对老师来说很重要,不管他们有什么课程材料。hth华体会

坎德拉:是的。这是正确的。

迈克我想这是我的最后一个问题。这真的是一个资源问题。所以,如果我是一个有兴趣学习更多关于CGI的听众,如果这真的是我第一次理解这些想法,你会给那些刚刚开始思考这个问题的人推荐什么,也许离开的时候会想,“天哪,我想学习更多。”

坎德拉:当然。好吧,我提到了你可以深入挖掘的所有优秀文本的清单。所以,孩子们的数学是跨年级整数运算的专家。我发现,就像幼儿园的一年级或二年级老师发现的那样幼儿数学非常有影响力。它有助于将有关数量计数的想法与有关解决问题和操作的想法联系起来。然后把他们联系起来,帮助我们思考如何支持学生发展那些真正重要的早期想法。

迈克: Uh-hm。

坎德拉每一个和我交谈过的人都读过书拓展儿童数学:分数和小数发现它非常有影响力。

迈克肯德拉,我会把我自己也列在那个名单上。这让我大吃一惊。

坎德拉是啊,我们也是!每个读到它的人都说:“哦,我现在明白了。”它为我们指出了很多真正实用的方法来关注。它提供了一个很像整数的轨迹,关于孩子是如何发展想法的,也提出了一些问题,帮助我们支持学生发展这些想法。所以我绝对推荐这些。然后,思考数学是另一本帮助我们将算术和代数联系起来的好书,因为我们正在思考如何确保学生在开始更多地进行代数思考时获得成功。它深入挖掘了一点——我说过小孩子发明数学——我认为甚至进一步描述了他们发明运算的重要性质的方式,这些性质读起来真的很有趣。

迈克:那太好了。肯德拉,非常感谢你加入我们。今天和你谈话真的很高兴。

坎德拉谢谢你邀请我。

迈克:本播客由数学学习中心和迈尔数学基金会提供,致力于激励和帮助人们发现和发展他们的数学信心和能力。