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妮可·加西亚,记录学生在数学讨论中的思考

Mike Wallus,负责教育支持的副总裁


总结:第一季|第三集

学习记录学生的数学思维可能最好被描述为“在职训练”,其中有大量的试错和大量的练习。今天妮可·加西亚博士密歇根大学的教授谈到了记录学生思维的实践并就这一具有挑战性但至关重要的实践提供了见解。


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记录学生在数学讨论中的思考

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Mike Wallus:如果你和我一样,学习记录学生的数学思维可能最好被描述为在职训练,这意味着试验和错误,以及大量的练习。我们今天播客的嘉宾是妮可·加西亚,她是发表在《数学老师》上的一篇文章的合著者,这篇文章探讨了记录学生思维的实践,并提供了一些见解和原则,以使他们尽可能高效。欢迎来到播客,妮可。

妮可·加西亚:谢谢你们邀请我。

迈克:因此,你和你的合著者在文章的开头承认,当你在某个时刻,在一个公共空间,和学生在一起时,表现和记录学生的想法是具有挑战性的,即使对资深教师来说也是如此。我想大多数老师会同意并感激这种认识,即这是一种需要时间和练习的技能。是什么让这项工作具有挑战性?为什么它值得投入时间来做得更好?

妮可:我认为你在你的问题中说了很多,指出了为什么这是一项非常困难的工作,对吧?首先,这是当下。我们无法预测学生们会说什么。我们可以做一些前期工作。我们可以猜测一下。随着我们职业生涯的发展,我们可能已经收集了一些非常好的猜测,关于学生可能会说什么,但你永远无法在那一刻说出来。所以意外的事情出现了。即使我们对一个想法很熟悉,学生们的措辞有时也会有所不同。我们也站在一屋子的孩子面前,我们试图在那一刻管理很多事情——当我们在听,当我们在解释这些想法的时候。然后我们试着弄清楚:从这些与我们分享的大量想法中,我们到底要写些什么? So that's a lot to coordinate, to manage, to think about in the moment. But it's really critical work because part of our goal as mathematics teachers is to build collective knowledge, to support children in being able to listen to, make sense of, interpret one another's ideas, to learn from each other, and to build on one another. And so if we want to make that happen, we need to support making students’ ideas accessible to everyone in the room.

迈克:嗯。

妮可:而倾听只是其中的一部分,对吧?如果你想要让想法有意义需要什么,它需要多重表示——这是我们在数学中正在研究的东西。所以我们需要教室里的孩子们能够接触到孩子们所说的词汇。我们需要他们能够看到被分享的想法的视觉表现形式。我们需要他们能够使用我们通常用数学记录这些东西的方法——我们通常使用的符号表示法。如果我们想让孩子们能够打开行李,理解他人的想法,并与他人的想法合作,我们就需要这一切立刻发生。所以这是非常重要的工作。我认为花时间在这方面是值得的,因为让孩子们互相学习的力量,让他们感受到自己数学想法的价值。

迈克:你知道吗,就在你说话的时候,我正在做的一件事就是在心里列一张从原则到行动的清单。我觉得,第一个:问有目的的问题。检查二:连接数学表示。我的意思是,正如你所描述的,我们所看到的很多真正富有成效的实践都是在这个活动中进行的,当老师们聚在一起倾听学生们的想法并试图抓住这些想法时。

妮可:如果我们想让这些想法一直留在我们身边,这种捕捉是非常重要的,对吧?比如,我想了想有多少次我和一群人一起讨论——可能是在课堂上,也可能是在另一个空间——所有的事情都发生了。当我离开的时候,有时我会想,‘刚刚发生了什么?我们一起想了些什么?我们参与了什么想法?“我抓不住它们了。在公共空间的公告板上记录为这些想法提供了一个机会,让我们能够记住它们,让我们能够重新审视它们。所以这对持续学习和数学成长至关重要。

迈克:绝对的。所以你写的这部分文章——当我读它的时候,你描述了记录学生在讨论中思考的挑战——这段特别的陈述真的打动了我,我就像在文章中那样去读它。“被记录下来的思维并不是老师自己的,这要求老师把自己的策略和对数学作品的解读放在一边,专注于代表学生的思维。”“我希望你能谈谈为什么你觉得在文章中明确指出这一点如此重要。

妮可:是的。所以我认为有几件事很重要。一个是,作为一名教师,你总是在思考你的课程的轨迹,学生学习的轨迹,你想要达到的目标和方向。所以很多时候,当我们在听的时候,我们是在听一些特别的东西,对吧?我们心中有一个计划,我们有一个想法,我们知道我们想去哪里,我们非常仔细地听一个标语,一个词汇——一些我们认识的东西,我们可以拿起来,投入到讨论中并向前推进,对吗?继续前进,完成我们的功课。很多时候,这种自然的倾听方式与学生们真正想要交流的东西并不一致,因为孩子们表达自己的方式,尤其是关于数学的方式,与精通数学的成年人表达他们对数学的想法的方式是完全不同的。所以在他们使用的语言中,在他们谈话的轨迹中,有很多东西是很难理解的,也很难弄清楚他们在交流的主要思想是什么。当我们倾听我们自己的理解,我们自己的工作方式,我们自己的策略时,我们常常忽略了孩子们在讨论和对话中真正带来的东西。我们想念他们的思维。我想,有多少次,我作为学生在课堂上说了一些话,老师用他们真的希望我说的话的方式重新表达了我的话。

迈克:是的。

妮可:这已经不是我的主意了,但你会点头附和。所以我认为,你知道,作为一个老师,你会得到那些线索,是的,你只是重新表述了孩子说的话。他们只是说,‘好吧。’然后你把它录下来,然后继续前进。所以我认为反思——和孩子们一起检查你是否听到了他们的想法,你放在黑板上的表现是否真的符合他们的想法——是非常非常重要的。因为这不是你的想法。这是孩子的想法,我们要确保这是我们所代表的。

迈克:是的。当我读到这篇文章时,我承认我回想起了我在教幼儿园和一年级的时候。我怀疑任何受过教育并试图记录学生思维的人都曾有过这样的经历,即你认为学习将会遵循一种途径。你知道这些伟大的想法是如何实现的。

妮可:嗯。

迈克:我发现自己在想的是,有很多很多次,我觉得我是忠于学生的想法的,但我真的意识到,我听到的和我所代表的肯定有一些地方是不同的,可能是因为我对自己说,‘天哪,我真的想要模型就会出现。事实是,孩子们不带我去那里,我试图强迫他们去。我想我要说的是,它真的让我回想起我自己的实践,并真正地重新考虑——即使当我和其他成年人和孩子一起进行专业学习时——倾听的必要性,而不是在我自己的脑海中勾勒出道路。

妮可:这真的很难做到,因为有时候作为老师,你真的需要一个特定的方向的教训。在教学中有各种各样的限制。我认为重要的是知道你已经做出了这个决定。(笑)?因为有时候你可能会。你可能…

迈克:是的!

妮可:用一种特别的方式重新表达,因为那是你在那个时刻需要采取的行动。我认为有时这是可以的。作为老师,我们需要允许自己为整个班级和此刻正在分享想法的学生做出最好的选择。但我认为知道你所做的事真的很重要,

迈克:正确的。就像,这是一个有意识的决定说,‘我听说了。我要换一个方向。’而不仅仅是想象,‘我听说过。我把它表示出来。而不是质疑所呈现的是学生的想法还是你自己的想法。

妮可:正确的。或者更好的是,做出这样的决定:‘我听到了,那个孩子说的话。然后我会回答他们,‘例如,’所以我想我听到你说的是……bop, bop, bop。我可以试试这个想法吗?,并真正分享你的想法。或者像这样说,‘你知道,我以前也听我的一些学生说过类似的话。我能和你分享这个想法吗?让我们看看有什么相似或不同之处。“所以思考一下,你怎样才能把这个想法表达出来,你真的很想记录下来,而学生没有说出来,以一种不完全虚伪的方式——假装你听到了你没有听到的东西。”

迈克:正确的。你在某种程度上承认他们说了些什么,你是....这是强大的;你用的语言真的很微妙。但它本质上是在说,‘我有一些我想贡献的东西,正是你的想法让我想到的,’或者……

妮可:嗯。

迈克:你也想把它放出来我认为这种微妙是很重要的。因为当你描述那种感觉时,‘我说了些什么。老师用一种完全不同的方式重新描述了它,留下了一种糟糕的回味。

妮可:是的。

迈克:你知道,这种微妙的请求——向孩子征求许可——确实会改变这种动态。

妮可:这是在说,‘我重视你的想法而且让我们考虑另一个想法。“老师们可以把自己的想法表达出来。

迈克:嗯。

妮可:但要承认这不是你听到的,你要录下另一段,或者两段都录……

迈克:没错!

妮可:谈论它们的异同。

迈克:所以我想稍微改变一下,谈谈录音在培养学生数学词汇方面的作用。我想知道你是否可以谈谈记录可以帮助学生们在他们的非正式语言和更正式的数学词汇之间建立联系的方式,我们希望他们能够开始使用这些词汇。你能谈谈这是什么样子的吗?

妮可:是的。所以我认为有几个观点值得思考。一是我们其实很了解孩子是如何发展词汇的。我们知道这是一种进步,学生需要机会来思考想法,有东西来把词汇挂在上面。

迈克:嗯。

妮可:一旦他们有了核心思想,他们有了一些非正式的语言——一些描述这个思想的方式——这就是能够引入正式数学词汇的最佳位置。他们能够将大局和他们想出的核心理念联系起来。他们有一些非正式的语言来表达。现在他们给它起了一个真正的名字——正式的数学名称。我们还知道,学生记忆和能够回忆——并恰当地使用——词汇的方法之一是通过数学词汇的视觉表现。

迈克:嗯。

妮可:所以,表述和录音能够帮助学生学习那些词汇的一种方式是,首先,让他们建立一些与那个词汇相关的表述,然后在这些表述上加上那些标签,这些标签会写在我们的黑板上。

迈克:啊,是的。

妮可:另外,你知道,当我们做像双重标签这样的事情时,嗯,也许在我们的教室空间里,我们用某人的名字命名某物,对吧?当我们开始讨论一个想法时,我们可以称之为迭戈的想法,迭戈的策略。当我们把它写在黑板上时,我们可以给它贴上“迭戈的策略”的标签以及它的正式数学名称,这样学生就能把这些东西联系起来。但即使不是学生的名字作为策略的名称,也有很多学生带来的非正式语言的数学思想。他们必须有一种谈论事情的方式。所以我们可以在黑板上给这些想法贴上双重标签,帮助学生们建立这种联系,让他们在使用非正式的语言和使用正式的数学语言之间游走,并接受这一点。

迈克:我们回过头来,再描述一下双重标签,因为我想我已经对它有了一个概念,但我想确保我在自己的脑海中正确地理解了它。这是怎么做到的?

妮可:假设我们有一个策略——一个学生在讨论中分享了一个减法策略,我在黑板上用数轴表示了这个策略。

迈克:好的。

妮可:然后,比方说,孩子们叫它“移动”——他们在移动数字来做减法问题。所以我可能会在我的黑板上,比如,在策略“快速移动”的左边,写……

迈克:嗯。

妮可:然后在右手边,标上“移动数字”或者任何我们课堂上的正式数学语言。所以我们把这两件事都标在了策略的最上面。我甚至可以在两者之间画一个双面箭头来帮助…

迈克:哦!好的。

妮可:[难以理解]这个策略有两个名称,我可以互换它们的名称。但随着时间的推移,我们到了用它的正式名称来称呼它的地步。孩子们也会有这样的想法,‘哦,这就是快步跑的策略。“他们给这个想法起了自己的名字

迈克:这真的很有帮助。我认为你分享的例子确实显示了双重标签是如何发展的在某一点上几乎是淡出的。并不是说你故意不让孩子们用“scooting”这个词,而是说你在某种程度上逐渐淡出,开始使用更正式的名称。他们可以使用它,……

妮可:嗯。

迈克:但你真的在试图帮助他们过渡到正式的词汇。

妮可:嗯。如果你想一下,你知道,孩子们真的习惯于给事物取多个名字。

迈克:嗯。

妮可:他们有在家里用的昵称…

迈克:是的。

妮可:他们有他们的姓,他们有他们的学校名,他们有他们的朋友名。同一种东西上有很多不同的标签。所以这是他们语言的自然发展过程。它不会引起复杂的问题,比如,这个想法有这么多个名字。一旦每个人都掌握了正式语言,我们就可以转向使用正式语言。

迈克:是的。所以当我在准备这次采访的时候,甚至当我在读这篇文章的时候,我发现自己在思考我作为一名小学老师的生活。我想我发现自己在想的是,我学会了如何促进和记录数学讨论——就像很多人一样——试错和大量的练习。我认为我真正欣赏你和你的合作者们所做的工作的地方在于你实际上提出了一些记录的原则,这些原则支持数学理解。我在想你能不能把你认为重要的原则说出来,妮可。

妮可:是的。所以当我们在研究这些原则时,我们试着去思考,比如,记录下什么是最重要的,对吧?以及我们如何在教室里录音。在这项工作中,我们想要确保得到关注的重要事情是什么?所以我们在三个原则的保护伞下组织,一个是关于推进数学思想。因为数学讨论的目的是共同建立观点,并利用学生的观点推动数学的发展。所以当我们考虑记录什么时,我们希望记录的方式能帮助我们一起构建数学概念。所以在这个领域,我们真的会考虑记录核心想法,然后决定:什么东西重要到足以让我们加入董事会?我要确保哪些内容能够帮助推动人们的思维向前发展?同时,思考:什么是正确的细节水平?

迈克:嗯。

妮可:有时候,你看着黑板上的记录,如果你走出房间,再回到房间,看着它,你完全不知道发生了什么。

迈克:(笑)

妮可:发生了什么事,对吧?

迈克:是的!

妮可:就像,没有足够的证据,来真正了解发生了什么。但有时内容太多,你无法分辨,比如:这里什么是重要的?这是管理细节的“刚刚好”空间,这样当你第二天回来的时候,你就能理解它的意义,你知道发生了什么;它足以唤起你的记忆,但不是压倒性的,它真的很重要,因为我们希望孩子们能逐渐建立在这些想法上。所以我们希望这些录音能达到那种程度的细节。然后思考这个安排。我该把东西放在哪里,这样我才能帮助学生们把分享的想法联系起来?对吧?我想让孩子们的策略放在一起吗?是否有一些特殊的策略,如果我把它们摞在一起,孩子们就能看到不同类型的联系……

迈克:嗯。

妮可:相似点还是不同点?比如,它们彼此之间的关系,如果你想想我们是如何理解空间的,这很重要。

迈克:是的。

妮可:这是。这是一种桶。第二个方面是真正尊重学生的意义创造者。这又回到了我们之前讨论的问题上,要真正关注:学生们想要交流的是什么?所以,‘我真的把学生说的话录下来了吗,还是把我希望他们说的话写下来了?但要努力做到:那个学生想法的核心是什么?我的表述正确吗?但同时也要添加足够的细节,这样班上的其他学生就能明白这个学生的想法是关于什么的。我们可以通过提问来做到这一点,但其中一部分也必须在录音中体现出来,因为我们希望录音能够完整地反映学生们正在交流的想法。然后给这些想法贴上标签这样我们就能更容易地讨论它们,对吧?...

迈克:嗯。

妮可:我们不只是指一个一般的空间,我们有一些语言,我们有一些词汇,我们有某种标签,能够轻松地跨越这些想法。

迈克:我有个问题想问你。所以,再一次,我在转述,但其中一件事真正让我印象深刻的是,你揭示原则的方式是:我们的记录应该展示想法背后的思考,而不仅仅是解决方案的步骤。我希望你能对此展开一点。

妮可:是的。所以当学生们在课堂上分享策略时,当他们在课堂上分享想法时,我们想要得到的是某种程度上的通用性——用我的数学词汇。我们想要知道他们所分享的思想的核心是什么,这个思想可以用不同的方式应用于各种各样的问题。因此,只记录被遵循的步骤,可能会显示——也可能不会显示某人为某个特定问题所遵循的步骤,但不会显示可以用来解决其他类似或不同类型问题的思维。对吧?所以我们希望能够以一种能够触及思想核心的方式进行记录。所以如果你想到一个学生,例如,用计数来解决减法问题,…

迈克:嗯。

妮可:然后我就会想,重要的是学生计算的步骤。所以他们要么在数轴上思考然后沿着数轴从一个数到另一个数。在黑板上,我想记录下这些跳跃因为这是基本的思想,我们在看这两个数字之间重复的单位距离。

迈克:嗯。

妮可:好吗?如果一个学生在用手指数数,……

迈克:嗯。

妮可:然后我可能会在黑板上记录一个手牌,并数一下学生在做什么,这样班上的其他学生就可以尝试这个策略,使用这个策略,并思考它什么时候有用。但如果我在黑板上只记录了"计数"这个词和他们解决的问题,那就不一定能支持其他人去尝试那个策略或想法,甚至不去思考它什么时候有用。

迈克:这非常有帮助。我喜欢泛化这个概念。如果我记录得好,就能让其他孩子了解我强调的策略,而不是简单地把一个人如何在这个特定的任务中,在这个特定的时间,得出这个单独的答案的步骤放在一起。我想,在我看来,这是一个非常有帮助的澄清。

妮可:如果你想一下注释以及注释对录音的影响。我们考虑美国的标准加法算法。

迈克:嗯。

妮可:学生们在做加法,当他们得到的数字大于9时,他们就分组,然后把这个分组带进去,对吧?,到下一位值。如果我们在一起学习的时候,能标注出每个数字的含义,那就能帮助学生们继续创造意义。我认为经常发生的一件事是,当我们引入算法时,我们赋予它意义,我们一起做一些工作。学生们真正理解了位置的价值,他们理解了分组,他们明白了记录的意义。然后我们说,‘太好了,那我们就从现在开始这样录制吧。“我们在没有强化的情况下继续录音,再次强调,我们说这些数字意味着什么?”我们到底在这里做什么?所以我们从有意义的录音转向没有意义的录音?

迈克:当然。这完全有道理。

妮可:对儿童来说很快。还有,我知道,比如,我五年级的老师会说,他们的孩子经常来找他们,他们无法解释孩子做加法的时候发生了什么。他们做工作——他们知道如何去做工作,但他们不能说他们在做什么。对吧?所以注释真的可以支持它,记住我们有什么?我们达成了什么样的集体共识?

迈克:当然。这完全说得通。所以我想问你一些关于你会给老师提供指导的问题。我怀疑有相当多的人在听,他们真的在思考他们自己的实践,并在想:作为一名教师,或者在我共事的团队中,我应该采取什么步骤,来真正努力遵守我们所谈论的原则和实践?在实践我们今天讲的这些原则时,你觉得老师们应该如何互相支持呢?

妮可:所以我认为有很多选择可以让我们集中精力在一个教学社区里一起实践这项工作。我认为我们在文章中谈到的一种方法——这不是唯一的方法——是使用视频。在YouTube和TeacherTube等网站上有很多视频,在课堂上人们进行讨论,记录学生的思考。有很多关于学生思考的视频,在很短的时间内,我可以和我的同学一起看这个视频,练习记录——在黑板上,在图表纸上,在我面前的纸上——记录我从学生那里听到的东西。然后把我们的录音进行比较,并进行交流。我们每个人都注意到了哪些特征?我们在哪些方面与学生所分享的一致?我们对学生分享的内容的解读有什么不同?这是一个非常快速的活动。我可以找到一个五分钟的视频。 We can do that work together, talk about it in, like, tops 20 minutes, really, to do that kind of activity together. We can also do work where we’re visiting each other's classrooms.

迈克:你让我这么想的,妮可。

妮可:是的

迈克:是的,当然!

妮可:我可以去别人的教室。我可以在我的腿上放一张纸,我试着记录学生们的谈话。在那节课之后,向我正在观察的一位老师询问,‘你决定记录的是什么?你是怎么做出这个决定的?这是我得到的。“而且要真正地讨论这些想法,因为这是随着时间推移在实践中发生的微小变化。这是一组压倒性的作品,这个录音作品。它会逐渐变得更好,但这需要练习,与同事交谈,真正回到这些原则,并思考:我坚持这些东西了吗?我真正想工作的地方是哪里,我能提高我的实践水平?因为我会鼓励人们选择一个你真正想做得更好并专注于它的项目作为开始。

迈克:是的。我认为这也很强大,我可以想象,如果你是一个年级唯一的老师,你当然可以做你所描述的一些事情。

妮可:是的。

迈克:但是,天哪,当你把其他人聚集在一起,思考相互帮助的能力,提高你的意识,为什么你做了一个特定的决定,或者为什么你选择了一个特定的方向,这就是老师们可以真正帮助彼此的复杂之处。我是说,我们是行为的敏锐观察者。这是。(笑)当我们讨论微分时,这是我们所做的很多事情的基础。想到老师们可以互相帮助建立他们的技巧,这真的很有力量。

妮可:嗯。我认为这是一种非常有趣的做法,因为没有一种方法是正确的。(笑)?没有一种正确的方式来表达一个特定的想法。嗯,不同种类的录音有很多非常好的特点,所以有很多可以讨论的地方,也有很多可以互相学习的地方。你关于独处的评论让我想到,你可以通过学习学生作业来完成工作……

迈克:嗯。

妮可:思考:学生们倾向于如何表达他们的特殊想法,我该如何将其转化为我在黑板上为全班同学表达事物的方式?因为学生们会在作业中把自己的想法转化成表述。我们可以拉学生作业。你知道,如果我们看看Inside Mathematics,那里有很多学生工作网站,你可以在那个网站上进行研究,看看孩子们是如何倾向于展示他们的思维的。

迈克:我要倒过来问一下你能不能找到你刚刚分享的关于Inside Mathematics的资源。你能不能,对不熟悉的人说一下,你能不能把那是什么东西打开,告诉大家在哪能找到?

妮可:是的。Inside Mathematics对老师来说是一个很好的资源。它来自诺伊斯基金会资助的一个项目。该网站是insidemathematics.org,目前位于德克萨斯大学奥斯汀分校的达纳中心。

迈克:明白了。

妮可:对老师来说是很好的资源。有课程视频。问题是存在的。还有评估。上面有很多资源,但我最喜欢的一个资源是,每个问题都有学生的作业样本。所以你可以看到很多学生在里面思考。

迈克:这太棒了。你真的回答了我最后一个问题,那就是:对于那些正在听这段对话并思考步骤的人,他们可能会采取……你会向那些真正想要更深入地思考表现和表现学生思维的实践的人推荐的资源。

妮可:所以我认为三大是我们已经讲过的那就是参观你们同事的教室

迈克:嗯。

妮可:无论是面对面还是通过视频,这取决于你学校的设置;访问视频网站,对吧?去YouTube, teachertube看看人们是如何表现作品的,然后比较你可能选择如何表现作品;深入研究学生对自己思维的表述。

迈克:这太棒了。妮可,非常感谢你今天来参加我们的节目。和你聊天真的是我的荣幸。

妮可:非常感谢你们邀请我。这真的很有趣。

迈克:本播客由数学学习中心和迈尔数学基金会提供,致力于激励和帮助个人发现和发展他们的数学自信和能力。